na, wenn Backup (TM) auf die DS zugreifen will
Ja.

Wenn die DS schläft, dann läuft da kein Dienst. Das ist normal und geht ja auch nicht anders. Deshalb habe ich die Formulierung "die DS hat im Systemruhezustand Probleme, einen Dienst auszuführen" halt komisch. Die hat kein "Probleme" da einen Dienst auszuführen, sondern da wird prinzipiell gar nicht mehr ausgeführt. Ruhezustand halt. Da läuft gar nichts mehr.
Und wenn es für TM zu lange dauert, bis die DS antwortet und den TM-User zugreifen lässt.
In meinem IT-laienhaftem Verständnis

Irgendwie missverstehen wir uns gerade völlig, glaube ich?
Also, Du hattest mal am Anfang geschrieben, dass sich die DS aufhängt. Das ist nach den Angaben im Synology-Forum evtl. gar nicht der Fall. Nach deren schreiben befindet sich die DS in dem Moment im Systemruhezustand und Du hattest nur nicht den richtigen Weg zum Wecken gefunden. Und ich kannte den Zustand bisher nicht.
Mit TM hatte das dann gar nichts zu tun.
Und TM hat vermutlich auch gar keinen timeout gehabt. Nach der Beschreibung würde die DS ja aufwachen, wenn TM überhaupt versuchen würde, Kontakt aufzunehmen. Anscheinend schaut TM aber nur nach, ob gerade ein Server in die Runde schreit (Bonjour), dass er da ist und benutzt den. Wenn ein Server im Systemruhezustand ist, dann ruft der das nicht mehr und TM geht davon aus, dass der nicht da ist und versucht erst gar keinen Kontakt, der das NAS wecken würde.