Erstmal: Gut, dass Du die Lösung gefunden hast. 

Wie ich vermutet hatte, lag es wohl nicht an dem System selber und, wenn ich Dich richtig verstanden habe, wurde das Problem bei der Migration der Daten mit migriert.
Ich kann mich ziemlich ärgern, dass ich nicht auf die Idee mit Etrecheck gekommen war. In letzter Zeit habe ich bei mehreren Bekannten genau damit Adware-Dreck aufspüren und entfernen können. Allerdings ging es bei denen immer um plötzlich aufpoppende Werbefenster innerhalb und außerhalb von Safari. Das auch einfach nur die Mailverbindung dadurch gestört werden könnte (ob absichtlich oder aus Versehen), ist mir noch nicht untergekommen. Ich sollte mir echt einbläuen, bei merkwürdigem verhalten des Rechners immer erst mal Etrecheck zu verlangen. Dann wäre das Problem viel schneller gelöst gewesen.

ABER: wie kann ich denn bitte einen POP Account anlegen? Wenn ich einen neuen Account anlegen, sind das immer IMAP Accounts....?Glöst mit dem falschen Anmeldedaten Trick.

Eigentlich braucht man dazu doch keinen Trick, sondern stellt das einfach ein.
Ach, ich weiß... Beim Neuanlagen wird man ja zunächst nach Mailadresse und Kennwort gefragt. Bei bekannten Providern hat Mail dann schon die ganzen Daten wie Servername etc. voreingestellt. Und da wird vernünftigerweise IMAP vorausgewählt. Nur bei Adressen, bei denen man nicht den Provider erkennen kann (z.B. xy@apfelinsel.de), kann und muss man alles selber einstellen.
 

Ich weiß, Pop ist nicht mehr zeitgemäß. Aber es stehen die Emails auch offline zur Verfügung. Ist das bei IMAP auch so?

Jein.
Unter OS X: Ja, Mail lädt immer alle Mails inklusive Anhänge herunter und sie stehen lokal auch offline zur Verfügung.
Unter iOS: Leider nein. Mails und Anhänge, die einmal aufs iOS-Gerät heruntergeladen wurden, stehen dann da auch offline zur Verfügung. Der Knackpunkt ist: Automatisch wird nur Mails der Eingangsordner und Anhänge bis zu einer gewissen Größe heruntergeladen. Bei größeren Anhängen muss man das manuell antippen und Mails in anderen Ordnern werden nur dann heruntergeladen, wenn man sich den Inhalt dieses Ordners anschaut. Ziemlich bescheuert. Ich kann verstehen, dass dieses Verhalten zum Sparen von Datenübertragung sinnvoll ist, aber leider gibt es keine mir bekannte Option, dass man das anders macht oder evtl. im WLAN anders macht.

Außerdem kann ich mir die Ordnerstruktur basteln, wie ich will.

Ich kann auch im IMAP-Account beliebige Ordnerstrukturen anlegen. Der Unterschied zu POP ist dann nur, dass diese Ordnerstruktur automatisch auf allen geraten synchron ist. Also ein Vorteil.

Und wenn ich Emails archivieren will, wie würde ich das mit IMAP umsetzen?

Auch das ist einfach. Wenn man Mails statt in den IMAP-Ordnern auf allen Geräten synchron irgendwann mal nur noch als Archiv auf einem Gerät gespeichert haben möchte, dann legt man auf diesem Gerät (irgendwie ein Mac) im Bereich "on my Mac"=lokal entsprechende Ordner an und zieht die Mails aus den IMAP-Ordner in diese lokalen Ordner. Das mache ich immer mit alten Mails, die ich zwar aufheben will, aber die ich nicht mehr auf allen Geräten brauche.

So, kurzes Feedback: KEINE VERBESSERUNG !!

Vielen Dank an alle für die Tipps und besonders macflieger für sein Durchhaltevermögen!
Ich hab jetzt übrigens mein iPhone auf IMAP umgestellt!
Jetzt mal kucken, ob die Neuinstallation was bringt.

- IMAP: ich habe auch einen IPMA Account laufen, der funktioniert natürlich auch nicht.

OK, vorher hattest Du geschrieben, dass IMAP funktioniert.

- kann ich statt mail.gmx.net direkt die IP Adresse eintragen, die bei dir angezeigt wird?

Ne, das geht nicht.

hier noch ein screenshot aus dem Verbindungsprüfer :

OK, das ist ein ganz allgemeiner Fehlertext: "irgendwas klappt nicht. Kann alles sein."

hier das Zelt als jpg:

Ist identisch mit meinem.
Mir fällt echt nix mehr ein. 

- IMAP: ich habe auch einen IPMA Account laufen, der funktioniert natürlich auch nicht.
- kann ich statt mail.gmx.net direkt die IP Adresse eintragen, die bei dir angezeigt wird?

Ich habe jetzt ein neues Zertifikat erstellt. Wenn ich das als .jpg poste, willst du dir das dann downloaden? Sonst kann man ja nix mit anfangen?

hier noch ein screenshot aus dem Verbindungsprüfer :

So, jetzt habe ich folgendes gefunden:

https://community.unitymedia.de/categories/internet/question/gmx-blockt-unitymedia-ip?page=2

hmm, wenn das aber die Ursache wäre, dürfte es beim G5 ja auch nicht funktionieren? Und Ping und der Terminal Befehl auch nicht?
Ich werd wahnsinnig. Das ist genau das gleiche Problem wie bei "Nachrichten", mMn, (hab ich das schon erwähnt?)

IPv6 Konfig Fritzbox:

Ich verwende noch 10.3.6 

Dann habe ich eines Deiner Postings falsch verstanden.
Du meinst sicher 10.13.6, oder? Genau das nutze ich auch.

Also ich habe das Zertifikat im Schlüsselbund geprüft: rechte Maustaste auf das Zert und dann prüfen.

Ach so. Ich hatte einfach das Zertifikat doppelgeklickt, dann wird es ja angezeigt und bereits dabei bekomme ich die Anzeige "nicht vertrauenswürdig". Genau das gleiche bekomme ich bei Kontextmenü "... überprüfen" aus Auswahl von "Allgemein".
Kannst Du vielleicht mal posten, wie der Inhalt des Zertifikates ist? Nicht, dass wie unterschiedliche bekommen.

Hmm, müsste ich nachschauen. Aber wenn es von anderen Devices/PCs funktioniert, sollte es dich vom iMac auch gehen?

Ja, sollte...
Mailabruf sollte ja auch gehen. Aber stelle Dir mal vor, das eine Gerät fragt per IPv4 ab, das andere per IPv6 und die bei GMX haben was versaubeutelt. Ist aber nur Stochern im Nebel.

Auf mich macht es den Eindruck, als wären die Ports blockiert. Läßt sich das irgendwie feststellen?

Ja, habe ich doch oben gepostet, z.B. im Terminal:
nc -vz pop.gmx.net 995

Kann GMX IP adressen sperren?

Klar können sie, aber dann wäre es, wie Du selber schreibst, bei allen Deinen Geräten so und bei dem Accor-Account nicht.

Ich glaube, es hilft nur eine Neuinstallation oder ein Update.

Hast Du eine leere externe Platte? Dann könntest Du mal darauf eine Neuinstallation von High Sierra machen und nur testen, ob Mail dann funktioniert. Ganz ohne Migration und so. Das geht am schnellsten und wenn es damit auch nicht geht, hast Du Dir Zeit bei Deinen echten Daten gespart.

Wäre ein Update auf Catalina erfolgversprechend?

Da würde ich auf jeden Fall die Finger von lassen. In Catalina gibt es immer noch einen Bug, der in Mail unwiederbringlich Mails löscht. Außerdem läuft auch keine 32-Bit-Software mehr, man sollte also vorher prüfen, ob man das noch braucht.

Zitat von: mathias am November 14, 2019, 19:17:58

Kann ich das Zertifikat testen? Das scheint nämlich nicht zu funktionieren.

Was meinst Du mit "das scheint nicht zu funktionieren". Das Zertifikat müsste doch ganz normal im Schlüsselbund angezeigt werden und dann wird auch angezeigt, ob es in Ordnung ist. Bei mir steht in rot "nicht vertrauenswürdig".

Ich weiß auch nicht, ob die Zertifikate aus dem Schlüsselbund von Mail in Catalina verwendet werden. Eigentlich müssten sie, aber...

Ich verwende noch 10.3.6  :-\Also ich habe das Zertifikat im Schlüsselbund geprüft: rechte Maustaste auf das Zert und dann prüfen. Da gibt es dann ein Auswahlfenster, was alles geprüft werden soll. Dann habe ich SSL ausgewält. Das hat funktioniert. Wenn ich auswähle Zert abholen, dann gibt es eine Fehlermeldung. "Zert konnte nicht beim Absender angefragt werden" o.ä.

Zitat

Vielleicht ist der LAN Port der Fritzbox defekt? das könnte ich noch testen....Aber dann düfte ich ja diese Zeilen auch nicht schreiben können?

Eben, dann wäre es doch merkwürdig, wenn immer nur die Pakete, die zum Mailabrufen gehören gestört sind.

Stochern im Nebel: Nutzt Du für die Internetverbindung der Fritzbox IPv4 und IPv6?

Hmm, müsste ich nachschauen. Aber wenn es von anderen Devices/PCs funktioniert, sollte es dich vom iMac auch gehen?